PUNTO, RECTA Y PLANO

LOBACHEVSSY

5. Si tenemos una recta y un punto externo a ella, podremos dibujar todas las rectas que queramos qe pasen por ese punto, pero sólo una de ellas será paralela a la que ya teníamos
Todo esto parece evidente, pero el gran mérito de Euclides fue deducir toda la geometría de su época a partir de estos 5 postulados. Tanto es así, que a la geometría clásica se le llama en su honor Geometría Euclídea o Euclidiana
El quinto postulado siempre fue polémico, Muchos pensaban que no era un axioma sino un teorema, es decir, parecía que no era tan primordial como los otros y que se podía deducir a partir de los otros 4, y durante siglos se intentó hallar la manera de hacerlo. Sin embargo, resultó que no era posible.
Geometrías no euclídeas
Pasaron más de 2000 años hasta que el problema del quinto postulado quedó zanjado. Se cree que Karl Fiedrich Gauss (1777- 1885), fue el primero que lo vio claro, pero ni alguien como él, considerado ya en vida uno de los mayores matemáticos de todos los tiempos, se atrevió a publicar sus conclusiones, puesto que rompían con un dogma milenario.
Sí se atrevió un contemporáneo suyo, el ruso Nicolai Lobachevski (1792-1856), quien en 1826 no sólo dijo que el quinto axioma de Euclides no se podía deducir de los otros cuatro, sino que no era tal axioma. Ese axioma se podía sustituir por otro y construir toda una geometría distinta. Sin embargo, la obra de Lovachevski no alcanzó demasiada repercusión más allá de su círculo cercano, en la remota Universidad de Kazán, ciudad perteneciente a la no menos remota república rusa de Tatarstán.

EUCLIDES

Poco se sabe de este matemático griego, incluso hay quien opina que en realidad nunca existió, sino que sus obras pertenecen a un grupo de matemáticos griegos que se hacía llamar por ese nombre. Se cree que vivió entre los siglos IV y III de antes de nuestra era y que trabajó en la Biblioteca de Alejandría. Su gran mérito consistió en recopilar y sintetizar los conocimientos geométricos de su época.

Su libro clave es el llamado Elementos, y constaba originalmente de trece volúmenes en los que se exponía la geometría clásica. Este libro tiene tanta importancia para las matemáticas como el Principia de Newton para la Física o el Origen de las Especies de Darwin para la Biología.


Para sentar las bases de la Geometría, Euclides utilizó lo que se llama axiomas, que no son otra cosa que principios fundamentales indemostrables pero que se consideran evidentes, y a partir de los cuales se construye una teoría. Él los llamó postulados y formuló cinco primordiales que se pueden exponer de varias maneras equivalentes, una de las cuales es:
1. Si tenemos dos puntos, entonces podemos dibujar una recta que los une
2. Cualquier recta se puede hacer todo lo larga que se quiera
3. Se puede trazar una circunferencia de cualquier tamaño alrededor de cualquier punto
4. Todos los ángulos rectos son iguales
5. Si tenemos una recta y un punto externo a ella, podremos dibujar todas las rectas que queramos qe pasen por ese punto, pero sólo una de ellas será paralela a la que ya teníamos
Todo esto parece evidente, pero el gran mérito de Euclides fue deducir toda la geometría de su época a partir de estos 5 postulados. Tanto es así, que a la geometría clásica se le llama en su honor Geometría Euclídea o Euclidiana
El quinto postulado siempre fue polémico, Muchos pensaban que no era un axioma sino un teorema, es decir, parecía que no era tan primordial como los otros y que se podía deducir a partir de los otros 4, y durante siglos se intentó hallar la manera de hacerlo. Sin embargo, resultó que no era posible.

POLÍGONOS IRREGULARES

Como su nombre los dice están formados por lados no iguales.

POLÍGONOS REGULARES

Polígono es una figura plana y cerrada formada al unir tres o más segmentos rectilíneos. Un polígono regular es aquel cuyos lados y ángulos interiores son todos iguales.

¡Construye polígonos regulares!

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/1y2_eso/Poligonos_regulares_y_circulos/Policir1.htm

EL CUADRADO

La fórmula del área del cuadrado es
AREA= lado·lado=l2

Juega con los cuadrados:
http://www.cnice.mecd.es/Descartes/3_eso/Figuras_geometricas_del_plano/figugeo1.htm


EL RECTÁNGULO
La fórmula del área del rectángulo es
AREA= lado·lado=a·b


EL PARALELOGRAMO
La fórmula del área del paralelogramo es
AREA= base·altura=b·h


EL TRIÁNGULO
Con ayuda de las siguientes ventanas vamos a deducir la fórmula para calcular el área del triángulo:

base X altura / 2

Juega con los triángulos:
http://www.cnice.mecd.es/Descartes/3_eso/Figuras_geometricas_del_plano/figugeo2.htm

ANEXOS

¿Deseas construir poliedros regulares e irregulares?

Sólo dale click a este enlace y encontrarás las plantillas de los principales sólidos geométricos:

http://mmpchile.c5.cl/pag/productos/geo/cu_geo.htm

Ejemplos:


CILINDRO

CONO TRUNCADO

DODECAEDRO

ICOSAEDRO

CUBO

OCTAEDRO

POLIEDROS IRREGULARES

Un poliedro irregulara es un sólido formado por polígonos (o sea caras) con diferentes formas.

Los poliedros irregulares más conocidos son los prismas y las pirámides. También tenemos los conos y los cilindros.

PRISMAS

PIRÁMIDES

POLIEDROS

(SÓLIDOS GEOMÉTRICOS)

LOS POLIEDROS REGULARES

Los poliedros regulares son sólidos cuyas caras son polígonos regulares.

En los poliedros regulares distinguimos:

a) Vértices: puntos donde concurren tres aristas
b) Aristas: lados de los polígonos regulares
c) Caras: polígonos regulares

Los más sencillos son aquellos que se forman a partir de un solo polígono regular. Este grupo de poliedros ya era conocido por Euclides (330 a.C.) y estos cinco sólidos estuvieron acompañados de cierto misticismo. Se asociaban con los cuatro elementos supuestos y con el Universo y reciben el nombre de sólidos platónicos. Los únicos poliedros regulares son:

El TETRAEDRO: Formado por tres triángulos equiláteros. Es el que tiene menor volumen de los cinco en comparación con su superficie. Representa el fuego. Está formado por 4 caras, 6 aristas y 4 vértices.

El CUBO: Formado por seis cuadrados. Permanece estable sobre su base. Por eso representa la tierra. Está formado por 6 caras, 12 aristas y 8 vértices.

El OCTAEDRO: Formado por ocho triángulos equiláteros. Gira libremente cuando se sujeta por vértices opuestos. Por ello, representa al aire en movimiento. Está formado por 8 caras, 12 aristas y 6 vértices.

El DODECAEDRO: Formado por doce pentágonos regulares. Corresponde al Universo, pues sus doce caras pueden albergar los doce signos del Zodiaco. Tiene 12 caras, 30 aristas y 20 vértices.

El ICOSAEDRO: Formado por veinte triángulos equiláteros. Es el tiene mayor volumen en relación con su superficie y representa el agua. Tiene 20 caras, 30 aristas y 12 vértices.

En todos ellos se cumple la relación: CARAS + VÉRTICES – ARISTAS = 2 (Formula de Euler)

¿Quieres ver estos poliedros en tercera dimensión? Dale click a:

http://www.cnice.mecd.es/eos/MaterialesEducativos/mem2000/superficies/PoliReg.html

PLATÓN fue un filósofo que estudio estos poliedros regulares, escuchémoslo:

"...la tierra debe tener la forma del cubo, el sólido más estable de los cinco..."
Platón
El cubo es el más abundante de los poliedros regulares.

"El fuego tiene la forma del tetraedro, pues el fuego es el elemento más pequeño, ligero, móvil y agudo."
Platón
El tetraedro es el más sencillo de los poliedros regulares, pues es el que menos caras necesita para su construcción.

"...el aire, de tamaño, peso y fluidez, en cierto modo, intermedios, se compone de octaedros..."
Platón

"...el agua, el más móvil y fluido de los elementos, debe tener como forma propia, o semilla, el icosaedro, el sólido más cercano a la esfera y, por tanto, el que, con mayor probabilidad, puede rodar fácilmente."
Platón

"...es la forma que los dioses emplean para disponer las constelaciones en los cielos."
Platón
El dodecaedro, fue el último de los poliedros regulares en ser descubierto.

LA ESFERA

Es un poliedro especial.